Nástroje pro tvorbu daných typů středoškolských rovnic vedoucích na kvadratické rovnice

Abstrakt

            Tento text se zabývá konstrukcí nástrojů, jejichž použitím je možno získat dané typy rovnic, které nalezneme v učebnicích pro střední školy. Konkrétně se bude jednat o kvadratické rovnice a rovnice vedoucí na kvadratické rovnice. V tomto textu uvedeme některé „typické učebnicové příklady“, potom ke každému vybranému typu sestavíme nástroj, jehož implementaci zrealizujeme programem GeoGebra. Od vytvořeného nástroje budeme očekávat, že sestaví příklad, jehož „parametry“ si učitel předem zvolí. Popišme tento záměr konkrétněji:

            Například ve sbírce úloh [1], str. 70, cv. 36 a) nalezneme rovnici (x+3)/(x-3)+(x-1)/(x-5)=4, kterou máme řešit v R. Tato rovnice má kořeny  x_1=4 a x_2=9. Tento příklad je samozřejmě didakticky vhodný, neboť nevyžaduje provedení nějakých zdlouhavých aritmetických operací, které by účel příkladu (naučit se řešit rovnice s neznámou ve jmenovateli) odsouvaly někam do pozadí. Nabízí se tak otázka, zda je možné nalézt nějaký postup, jehož provedením získáme rovnici (x+a)/(x+b)=(x+c)/(x+d)=e s neznámou x, která bude také didakticky vhodná. Abychom tuto otázku co nejnázorněji a nejstručněji zodpověděli, nejprve ukažme způsob rychle proveditelný, avšak nevhodný: Zvolíme či vygenerujeme nějaká reálná a, b, c, d, e; poté sestavíme výše uvedenou rovnici. Tím samozřejmě ztrácíme nejen kontrolu nad počtem jejích kořenů, ale také kontrolu nad číselným oborem, jehož prvkem je kořen (pokud existuje). Takto tedy postupovat nebudeme. Jakou ale zvolit strategii? Umožněme uživateli nástroje zadat dva racionální kořeny a čísla a, b, c, d, e dopočítejme (tato čísla zřejmě budou také racionální). Tato myšlenka se může jevit jako jednoduchá, ovšem její realizaci bude předcházet důkladný rozbor situace.

            Jak již bylo naznačeno, v tomto textu vymezujeme určité „typy učebnicových rovnic“. U daného typu potom rozlišujeme tři případy:

• rovnice s racionálními kořeny
• rovnice s iracionálními kořeny
• rovnice nemající reálné kořeny

U každého případu klademe požadavek, aby získaná rovnice měla racionální (popř. celočíselné) koeficienty. Vhodnými strategiemi sestavování rovnic se ukazují být:

• zadání kořenů a následné využití Viètových vzorců
• generování koeficientů, popř. jejich volba provedená uživatelem

            Nyní si možná čtenář klade přirozenou otázku: „Jaký je přínos nástrojů, které popisuje tento text?“ Pokusíme se odpovědět uvedením a popisem jedné ukázky (podrobný popis nástroje je uveden v kapitole 6.1): Na obrázku č.1, str. 2 je znázorněn nástroj, který vytváří rovnici „typu“ a(bx+c)^2+d = a(ex+f)^2 + g. Uživatel zadá racionální čísla a, b, e  a racionální kořeny x_1, x_2. Tím získá odpovídající rovnici. Tento nástroj pak můžeme chápat jako vhodnou pomůcku (vyhneme se „ručnímu“ sestavení rovnice s předem požadovanými vlastnostmi), která může najít využití v situaci, kdy studenti potřebují více příkladů daného typu než obvykle. Jinými slovy – nástroj může být učitelovým pomocníkem, který mu ušetří práci (vytvářet další rovnice).

            Dále poznamenejme, že zdrojem inspirace pro vymezení „typu rovnice“ se staly publikace [1] a [2]. Nástroje, jejichž odvození popisuje tento text, zájemce nalezne v knize (v GeoGebraBooku) dostupné na https://www.geogebra.org/m/Vz8nsNdx.